你好，我是 Richard。

这篇文章根据 AMA3724 Further Mathematical Methods 中线性代数与微分方程部分的讲义整理。它不是一份公式清单，而是一篇偏推导的教程：先从矩阵、向量空间和投影讲起，再推到特征值、对角化、正定矩阵与 SVD，最后说明为什么这些线性代数工具会自然进入常微分方程和偏微分方程。

如果只把这门课理解成“会算矩阵、会解微分方程”，会很容易碎片化。更好的主线是：

线性代数研究的是线性变换如何作用在空间上；微分方程研究的是一个量如何随时间或空间变化。当变化规律是线性的，线性代数就会变成解微分方程的语言。

这篇笔记整理 SVD 在机器学习中的几个典型用法：低秩近似做图像压缩、矩阵分解做推荐系统、PCA 做降维，以及 SVM 中常见 kernel 的选择。主线是同一个：把高维数据表示成更少、更重要的方向。