MultivariableCalculus_lecture1

简单介绍

AMA2702多元微积分是基于AMA1702微积分的基础上的进阶课程，教科书使用$Don Shimamoto$版本的$Multivariable Calculus$，lecture1主要1介绍了向量的两种很基本的运算点积与叉积（又称内积与外积），向量的模长

模长（norm）

向量可以表示成一组有序数组，也代表着空间当中某一点的坐标，这里的模长就是空间当中数组所表示点到原点的长度，将勾股定理推广至n维可以得到

$|\overrightarrow{v}|=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}$

点积

点积是两个向量之间普遍意义上的乘法，指的是某一向量的长度与另一向量在此向量上的投影的长度的积，写作$\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B}$, 点积可以理解为将两个列向量的其中一个转置后，形成的1xN与Nx1的两个矩阵的乘积，这意味着点积的结果是一个数

$\overrightarrow{A}=(a_{1}，a_{2}),\overrightarrow{B}=(b_{1},b_{2})，\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}$
同时，根据点积的定义我们又可以得出
$\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B}=|\overrightarrow{A}||\overrightarrow{B}|\cos\theta$
由于$\cos\theta属于（-1，1）$
因而可以引出
$Schwarz$ $inquiality$: $|v\cdot w|\le |v||w|$
这一不等式可以用于证明高维的基本不等式，详情请见$kaggle$ _ $one$，这里不再叙述

在课上$Zhang$ $Hua$老师对这个不等式还提了一种特别有意思的证明

假设向量$v，u$线性相关时（即$v，u$共线）
存在常数t，使得t $v$ = $u$
有$|v\cdot u|=|tv\cdot v|=|tv^{2}|=|tv||v|=|u||v|$
假设向量$v，u$线性不相关时（$v，u$不共线）
此时$tv\ne u$，有$|tv-u|>0$
平方后，$t^{2}v^{2}-2|tv||u|+u^{2}>0$,
对于这个一元二次函数，我们知道它是恒大于0，f（t）=0不存在解
所以$\Delta=4(|v||u|)^{2}-4v^{2}u^{2}>0$
原式得证

真是一个富有想象力的解法，大开眼界了

$Proj_{\overrightarrow{u}}^{\overrightarrow{v}}$—v在u方向的投影向量

$Proj_{\overrightarrow{u}}^{\overrightarrow{u}}=|\overrightarrow{v}|\cdot\cos\theta\cdot\frac{\overrightarrow{u}}{|\overrightarrow{u}|}$

$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}||\overrightarrow{u}|}$

Thus, $Proj_{\overrightarrow{u}}^{\overrightarrow{u}}=|\overrightarrow{v}|\cdot\frac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}||\overrightarrow{u}|}\cdot\frac{\overrightarrow{u}}{|\overrightarrow{u}|}$

行列式

行列式的值等于矩阵任意一列或者任意一行的元素与该元素的代数余子式乘积之和，二阶矩阵行列式绝对值等于在该矩阵的作用下原坐标系中的每一个矩阵的面积变化比例，正负性代表坐标系是否被翻转，三阶则代表着立方体体积的变换比例，以此类推，详见3b1w的视频！！

叉积

一定要明确一点的是，点积可以应用在多维向量上，但叉积只是针对三维向量的，是用于求解两个三维向量所构成平面的法向量的运算

现假设向量$v,u$是两个不共线的三维向量
向量$F$分别垂直于$v，u$
即$F\cdot v=0$ , $F\cdot u=0$
$F$(x,y,z)
$v$($v_{1},v_{2},v_{3}$)
$u$($u_{1},u_{2},u_{3}$)
我们可以得到
$v_{1}x+v_{2}y+v_{3}z=0$ (1)
$u_{1}x+u_{2}y+u_{3}z=0$ (2)
$\frac{v_{1}u_{2}-v_{2}u_{1}}{v_{2}}x+\frac{v_{3}u_{2}-u_{3}v_{2}}{v_{2}}z=0$
可以得到一组通解：
$x=v_{2}u_{3}-u_{2}v_{3}$
$y=v_{3}u_{1}-u_{3}v_{1}$
$z=v_{1}u_{2}-v_{2}u_{1}$
规定向量F（x，y，z）有$F=v\times u$

此时$F,v,u$满足右手定则，食指为v方向，拇指为u方向，中指指F方向
如何判断哪个向量是v哪个向量是u呢？
（1）里的就是v，（2）里的就是u（好像是废话）
观察下式子，这个减法看上去很眼熟，交叉相乘再相减，没错，是行列式

假设这是个$3\times3$的矩阵，向量$v，u$分别是矩阵的第二第三行向量
x，y，z分别是$A_{11}，A_{12}，A_{13}$的代数余子式
这个矩阵的行列式等于$A_{11}x+A_{12}y+A_{13}z$
我们知道F=$ix+jy+pz$ 其中i，j，p分别是x，y，z轴上的单位向量
不妨令$A_{11}=i,A_{12}=j,A_{13}=p$
则F=det $A=\begin{vmatrix} i & j & p \ v_{1} & v_{2} & v_{3} \ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix} $

从上面我们可以知道，位于矩阵第二行的向量就是食指方向向量，第三行的向量就是拇指向量
现在我们已经知道了法向量F该如何求解了，但怎么直接求解F的模长呢？
从上述计算式我们可以得到，F的模长在数值上等于$v，u$两个向量形成的平行四边形的面积
即|F|=|v||u| $\sin\theta$