线性代数-矩阵乘法后的空间原理

前记

在学习线性代数的过程当中，发现很多教材对矩阵乘法的定义过于代数化了，只介绍了矩阵乘法的代数形式，而很少有提及矩阵乘法背后的空间意义，这也许会导致学习向量空间的过程当中，无法很好的联系矩阵乘法和向量张成的关系

矩阵乘法定义：

在不少的教材当中矩阵乘法都有一个代数定义，非常的简洁 ：

------------------------$\begin{array}{c}矩阵A={\left[ a_{ij}\right]_{m \times n}} \\ \\矩阵B={\left[ b_{ij}\right]_{n \times s}} \\ \\ 那么对于矩阵C=AB \\\\有\left[ c_{ij}\right]_{m \times s} = \left[ \sum \limits_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}\right]_{m \times s} \end{array}$--------------------------

对于已经掌握一些矩阵乘法的同学，这样的定义似乎是显而易见的，但是
对于代数基础比较薄弱的同学（比如我），这样的表述似乎是非常反人类
且令人有些畏惧的，但其实换个思路理解也许就没这么抽象了

向量与矩阵的关系

根据定义我们可以知道，向量是一个有方向和大小两个特征的量，在数学上
我们定义向量为有序的一数字，什么叫有序呢？

举个例子

-----------------$\left [ 1,2,3\right ] $---------------- $
\begin{bmatrix} a_{11} \ a_{21} \ \vdots \a_{m1}\end{bmatrix}$--------------------------------

像这样的有一定顺序的，从左往右，从上往下的数字，就可以表示一个向量

那么对于矩阵$A_{m\times n}= \begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$，我们可以将其看作多

多个行向量的集合$A_{m\times n}= \begin{bmatrix} [a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}] \\ [a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}] \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ [a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}] \end{bmatrix}$或者是多个

列向量的集合$A_{m\times n}= [ \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} \cdots \ \dots \ \vdots \ \cdots \end{bmatrix} $ $\begin{bmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{bmatrix} ]$

也就是说，一个矩阵所展现的并不只有数字，而蕴藏了一些空间信息,从这个角度来看，不难发现矩阵运算实际上是空间当中的向量在进行运算

矩阵乘法

矩阵乘法是一个相当前置但是非常重要的东西，能够正确理解矩阵乘法对于后续的线性变换学习是相当重要的，矩阵乘法本质上就是空间的变换，这里需要补充一个比较概念叫线性组合

向量v=$a_{1}V_{1}+a_{2}V_{2}+\cdots+a_{n}V_{n}$,则v是{$V_{1}，V_{2}\cdots V_{n}$}的一个线性组合 而{$a_{1},a_{2}\cdots a_{n}$}是这个线性组合当中的权重

对于运算
$A_{n\times n}$= $B_{n\times n}$ x $C_{n\times n}$

$A_{n\times n}= \begin{bmatrix} b_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1n} \\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1}& b_{n2}& \cdots & b_{nn} \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} c_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n} \\ c_{21}& c_{22}& \cdots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{n1}& c_{n2}& \cdots & c_{nn} \end{bmatrix}$
其中A=[$A_{1}, A_{2}，A_{3} \cdots A_{n}$]
($A_{N}$=$\begin{bmatrix}a_{1n} \\a_{2n} \\\vdots\\a_{Nn} \end{bmatrix}$)
那么对于$A_{N}$其实是$B_{n\times n}$中每一列的线性组合，而权重就是$C_{n\times n}的第N列$，举个例子：

$A_{1}=c_{1 1}$ $\begin{bmatrix}b_{11}\\b_{21}\\\vdots\\b_{n1}\end{bmatrix}+c_{21}\begin{bmatrix}b_{12}\\b_{22} \\\vdots \\b_{n2} \end{bmatrix}+\cdots+c_{n1}\begin{bmatrix}b_{1n}\\ b_{2n}\\\vdots\\ b_{nn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}b_{11}& b_{12}&\cdots & b_{1n}\\b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ b_{n1}& b_{n2}& \cdots & b_{nn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} c_{1n}\\c_{2n}\\\vdots\\c_{Nn}\end{bmatrix}$

总结

在两个矩阵相乘的过程当中，新的矩阵中的每一列都是乘法左边的矩阵的每一列线性组合而成，新矩阵当中的第N列，根据右边矩阵的第N列分配权重，由左边矩阵的每一列线性组合而成，这也是为什么新矩阵的行数与左边矩阵的行数一样，列数与右边矩阵的列数一样

tips

本文仅介绍了矩阵乘法的理解思路，更具体的原理涉及到空间的线性变换，至于为什么会这么看矩阵乘法，等我哪天写一下线性变换更细致的写一下

彩蛋

事实上矩阵乘法当中每一列也有一样的原理，可以思考一下（如果你有作者的联系方式，可以联系下他讲一下你的思路，以及读完本文的想法，帮助作者更好的写文章（））